Álgebra lineal Ejemplos

$2 [\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 8 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot - 3 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot - 3 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 2 \cdot 4 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \\ 6 & 2 \cdot 8 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.8

Multiplica $2$ por $8$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \\ 6 & 16 & 2 \cdot 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.2.9

Multiplica $2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \\ 6 & 16 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Multiplica $[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 0 \\ 8 & 10 & 2 \\ 6 & 16 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 3 & 2 \end{array}]$ .

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Paso 1.3.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $3 \times 3$ y la segunda matriz es $3 \times 3$ .

Paso 1.3.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 1 - 6 \cdot 3 + 0 \cdot - 1 & 2 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot - 2 - 6 \cdot 4 + 0 \cdot 2 \\ 8 \cdot 1 + 10 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 & 8 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 3 & 8 \cdot - 2 + 10 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \\ 6 \cdot 1 + 16 \cdot 3 + 0 \cdot - 1 & 6 \cdot 1 + 16 \cdot 0 + 0 \cdot 3 & 6 \cdot - 2 + 16 \cdot 4 + 0 \cdot 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - 16 & 2 & - 28 \\ 36 & 14 & 28 \\ 54 & 6 & 52 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 1.4

Multiplica $[\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 4 & 7 & - 5 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

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Paso 1.4.1

Paso 1.4.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - 16 & 2 & - 28 \\ 36 & 14 & 28 \\ 54 & 6 & 52 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 - 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 7 - 2 \cdot 0 & 2 \cdot - 2 + 0 \cdot - 5 - 2 \cdot - 1 \\ 4 \cdot 2 + 7 \cdot 4 - 5 \cdot 1 & 4 \cdot 0 + 7 \cdot 7 - 5 \cdot 0 & 4 \cdot - 2 + 7 \cdot - 5 - 5 \cdot - 1 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 - 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 7 - 0 & 1 \cdot - 2 + 0 \cdot - 5 - - 1 \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - 16 & 2 & - 28 \\ 36 & 14 & 28 \\ 54 & 6 & 52 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & - 2 \\ 31 & 49 & - 38 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} - 16 + 2 & 2 + 0 & - 28 - 2 \\ 36 + 31 & 14 + 49 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica cada elemento.

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Paso 3.1

Suma $- 16$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 + 0 & - 28 - 2 \\ 36 + 31 & 14 + 49 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 28 - 2 \\ 36 + 31 & 14 + 49 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Resta $2$ de $- 28$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 36 + 31 & 14 + 49 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.4

Suma $36$ y $31$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 14 + 49 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.5

Suma $14$ y $49$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 63 & 28 - 38 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.6

Resta $38$ de $28$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 63 & - 10 \\ 54 + 1 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.7

Suma $54$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 63 & - 10 \\ 55 & 6 + 0 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.8

Suma $6$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 63 & - 10 \\ 55 & 6 & 52 - 1 \end{array}]$

Paso 3.9

Resta $1$ de $52$ .

$[\begin{array}{c} - 14 & 2 & - 30 \\ 67 & 63 & - 10 \\ 55 & 6 & 51 \end{array}]$